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Buddhabrot
Correva l’anno 1991 quando vidi per la prima volta un’immagine frattale: il programma che la generava si chiamava Mandel e girava sul mio glorioso Amiga 500 che, con una CPU che andava a 7 MegaHertz e senza FPU, generava un’immagine del frattale a 320 x 200 pixel in circa 10 minuti.
Quasi vent’anni dopo m’imbattei in un articolo che parlava di Buddhabrot, un metodo alternativo per disegnare il frattale di Mandelbrot, sviluppato nel 1993 da Melinda Green.
Le immagini ottenute con questa tecnica erano strabilianti, tanto che decisi di implementarne una versione per conto mio: l’immagine qui sotto, ad esempio, l’ho generata con del codice che ho scritto io.
Come funzionano i due metodi
L’insieme di Mandelbrot è l’insieme dei numeri complessi $ c \in \mathbb{C} $ per i quali la successione complessa:
$ z_{0} = c $
$ z_{n+1} = z_{n}^{2} + c $
non diverge (cioè, il modulo di $ z_n $ non continua a crescere all’infinito).
Mandelbrot classico
Anticamente 😄 il frattale di Mandelbrot si disegnava così: si coloravano di nero i pixel corrispondenti all’insieme di Mandelbrot ($ M $), e ai punti esterni all’insieme $ M $, veniva assegnato un colore legato a quanto velocemente questi punti scappano all’infinito: nell’immagine qui sopra, rosso significa “dopo una iterazione il modulo è già superiore a 2”, verde circa una decina di iterazioni, e così via.
Disclaimer: esistono una miriade di modi diversi per colorare il frattale di Mandelbrot; ho riportato il più diffuso/antico/semplice per brevità.
Buddhabrot
Un altro modo di visualizzare l’insieme di Mandelbrot è il seguente:
- scegli un punto a caso nel piano complesso;
- stabilisci se la successione diverge oppure no;
- se non diverge, ricomincia da 1.;
- se diverge, incrementa di uno la luminosità del pixel su cui si è trovato il punto a ciascuna iterazione della successione.
La figura che si delinea dopo qualche milione di cicli, ruotata di 90° in senso orario, ricorda la raffigurazione di Gautama Buddha (e anche Ganesh, la divinità Indù).
🔗 Riferimenti
- Script per generare alcuni frattali (scritti da me) su Github
- Descrizione dell’algoritmo originale (Melinda Green)
📷 **Photo credits**
Tutte le immagini frattali sono state generate con Processing e il mio codice.
Le altre foto provengono da Pixabay.